x → 0 のときの (e^x + x)^(1/x) の極限がどの不定形かを述べ、ロピタルの定理を使って求めよ。

Step-by-step solution

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   不定形の種類を見きわめる。 $x\to 0$のとき底$e^x + x \to 1$、指数$\tfrac{1}{x} \to \pm\infty$である。したがって形は$1^{\infty}$——$1$をわずかに上回る底を莫大な乗数で累乗すると何にでも近づきうるので、これは不定形である。単に$1$になるわけではない。

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   対数を取って累乗を商に変える。 極限を$L$とし、$y = (e^x+x)^{1/x}$とおくと：

   $\ln y = \frac{\ln(e^{x}+x)}{x}$

   $x\to 0$のとき分子は$\to \ln 1 = 0$、分母は$\to 0$となるので、これは$\tfrac{0}{0}$となりロピタルの定理が使える。

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   分子と分母を微分する。 分子には合成関数の微分法を使う：

   $\frac{d}{dx}\ln(e^x+x) = \frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}, \qquad \frac{d}{dx}x = 1$

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   新しい商を$x = 0$で評価する。 もはや不定形ではない：

   $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x} = \frac{1+1}{1+0} = \frac{2}{1} = 2$

   よって$\ln L = 2$である。

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   対数を外す。 この最後の指数化こそ最も忘れられやすく、答えを$2$のままにしてしまう段階である：

   $L = e^{2} \approx 7.389056$

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   両側から数値で検証する。 $x = 0.001$では$e^{0.001}+0.001 = 1.0020005$で$1.0020005^{1000} = 7.378$。$x = -0.001$では$e^{-0.001}-0.001 = 0.9980005$で$0.9980005^{-1000} = 7.400$。どちらも$e^2 = 7.38906$を挟んでおり ✓、記号的に極限を取るとちょうど$e^2$になる。