微分方程式 y'' - 3y' + 2y = e^x を解け。

Step-by-step solution

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   まず斉次方程式を解く。 $y'' - 3y' + 2y = 0$ に $y = e^{rx}$ を代入すると、特性方程式

   $r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = 1,\ 2$

   が得られ、$y_h = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$ となる。これを特殊解より先に求めなければならない。外力の項が共鳴しているかどうかを教えてくれるのがこの結果だからである。

2. 2

   共鳴を見抜く。 外力の項 $e^{x}$ の指数は $1$ で、これは特性方程式の解の 1 つである——つまり $e^{x}$ はすでに斉次方程式の解になっている。$y_p = Ae^{x}$ を試すと代入結果は $0$ になるだけで、決して $e^{x}$ にはならない。この試行解は原理的に成り立たない。

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   試行解に x を掛ける。 単根に対する定石は、$x$ を 1 つ余分に掛けることである。すなわち $y_p = Axe^{x}$ とおく。すると

   $y_p' = A(1 + x)e^{x}, \qquad y_p'' = A(2 + x)e^{x}$

   となる。

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   代入して係数を合わせる。

   $A(2+x)e^{x} - 3A(1+x)e^{x} + 2Axe^{x} = A e^{x}\left[(2+x) - 3(1+x) + 2x\right] = -Ae^{x}$

   $x$ の項がちょうど消える——共鳴する試行解を正しく選べたことの証である。$-Ae^x = e^x$ とおくと $A = -1$ となり、$y_p = -xe^{x}$ が得られる。

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   一般解を組み立てて検算する。

   $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x} - xe^{x}$

   検算すると、$y_p = -xe^x$ に対して $y_p' = -(1+x)e^x$、$y_p'' = -(2+x)e^x$ なので、$y_p'' - 3y_p' + 2y_p = e^x\left[-(2+x) + 3(1+x) - 2x\right] = e^x$ となり、要求どおりである。