1/(x + √(x² − 1))² の x について 1 から無限大までの広義積分を求め、下端を 0 にできない理由を説明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積分する前に定義域を確定させる。 $0\le x<1$では根号の中身$x^2-1$が負になるので、$\sqrt{x^2-1}$は実数にならず、そこでは被積分関数が定義されない。これが正真正銘の実積分になる最大の区間は$x=1$から始まる——下端を$0$と書くのは収束の問題ではなく、問題文そのものの誤りである。

2. 2

   根号が線形になる置換を選ぶ。 $x\ge 1$に対して

   $x=\cosh t,\qquad t\ge 0$

   とおく。すると$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\cosh^2t-1}=\sinh t$（$t\ge0$では非負）となり、$dx=\sinh t\,dt$である。

3. 3

   括弧の中を簡単にする——cosh を選ぶ理由はここにある。

   $x+\sqrt{x^2-1}=\cosh t+\sinh t=e^{t}$

   したがって2乗した括弧はただの$e^{2t}$になる。積分区間は$x=1\Rightarrow t=0$、$x\to\infty\Rightarrow t\to\infty$と移る。

4. 4

   積分を書き換える。

   $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^{2}}=\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh t}{e^{2t}}\,dt=\int_0^\infty e^{-2t}\sinh t\,dt$

5. 5

   双曲線正弦を指数関数に展開する。 $\sinh t=\tfrac{e^t-e^{-t}}{2}$より、

   $e^{-2t}\sinh t=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2}$

   となり、減衰する指数関数2つの差になる——どちらも$[0,\infty)$上で積分可能である。

6. 6

   積分して値を出す。 $\int_0^\infty e^{-kt}dt=\tfrac1k$なので、

   $\frac12\left(\int_0^\infty e^{-t}dt-\int_0^\infty e^{-3t}dt\right)=\frac12\left(1-\frac13\right)=\frac12\cdot\frac23=\frac13$

   $\int_0^{40}e^{-2t}\sinh t\,dt$を数値積分すると$0.3333333333$となり、厳密値$\tfrac13$を裏付ける。