x→π/4 のとき (sin 4x + cos 2x)/(4x − π) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   不定形を確認する。 $x=\frac{\pi}{4}$ では分子が $\sin\pi+\cos\frac{\pi}{2}=0+0=0$、分母が $\pi-\pi=0$ となるので、$\frac{0}{0}$ の形である。

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   変数を原点に移す。 $x=\frac{\pi}{4}+t$ とおき、$t\to 0$ とする。分母は $4t$ となり、割る相手として最も簡単な形になる。

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   分子を書き直す。 $\sin 4x=\sin(\pi+4t)=-\sin 4t$、$\cos 2x=\cos\left(\frac{\pi}{2}+2t\right)=-\sin 2t$ なので、分子は $-\sin 4t-\sin 2t$ となる。

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   $t$ で割る。 商は $\frac{-\frac{\sin 4t}{t}-\frac{\sin 2t}{t}}{4}$ に等しく、標準極限 $\frac{\sin kt}{t}\to k$ より分子は $-4-2=-6$ に近づく。

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   仕上げる。 極限は $\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$ である。分子と分母を 1 回ずつ微分する（ロピタルの定理）と $\frac{4\cos 4x-2\sin 2x}{4}\to\frac{-4-2}{4}$ となり、同じ値が得られる。

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   数値による確認。 $x=\frac{\pi}{4}+10^{-7}$ のとき元の式の値は $-1.5000000$ となり、$-\frac{3}{2}$ であることが裏づけられる。