e^(−x) × x^3.102378 の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   ここで部分積分が失敗する理由を見る。 指数が整数の$x^n e^{-x}$なら、部分積分を繰り返すたびに指数が1つずつ下がり、$x^0$に達したところで積分が閉じる。しかし$a = 3.102378$では指数が$3.102378,\ 2.102378,\ 1.102378,\ 0.102378,\ -0.897622,\dots$と進み、決してゼロにならないので手続きが終わらない。初等的な原始関数は存在しない。

2. 2

   閉じさせてくれる特殊関数に名前を与える。 第1種（下側）不完全ガンマ関数は次のように定義される：

   $\gamma(s,x) = \int_0^{x} t^{s-1}e^{-t}\,dt$

   微積分学の基本定理により$\dfrac{d}{dx}\gamma(s,x) = x^{s-1}e^{-x}$である。

3. 3

   指数を合わせる。 $s - 1 = 3.102378$が必要なので、

   $s = 4.102378$

   したがって

   $\int e^{-x}x^{3.102378}\,dx = \gamma(4.102378,\,x) + C$

4. 4

   上側ガンマによる同値な形も示す。 $\Gamma(s)$は$x$について定数であり$\gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s)$が成り立つので、同じ原始関数を

   $\int e^{-x}x^{3.102378}\,dx = -\Gamma(4.102378,\,x) + C$

   と書くこともできる。2つの形は定数$\Gamma(4.102378)$だけ異なり、その差は$C$に吸収される。

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   半直線全体での定積分を読み取る。 $x \to \infty$とすると不完全ガンマ関数は完全ガンマ関数に潰れる：

   $\int_0^{\infty} e^{-x}x^{3.102378}\,dx = \Gamma(4.102378) \approx 6.83346$

   比較のため隣の整数の場合を見ると$\Gamma(4) = 3! = 6$なので、指数がわずかに大きくなった分だけ値も控えめに持ち上がっている。これは$s = 4$を越えたあたりでの$\Gamma$の滑らかな増大から予想されるとおりである。