k を 1 から無限まで動かしたときの 2k / 2^k の和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   定数をくくり出し、形に名前を付ける。 各項が 1 次式と等比因子の積になっている和は等差×等比型と呼ばれ、公比の絶対値が 1 未満なら必ず収束する。

   $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^{k}}=2\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac12\right)^{k}$

2. 2

   等比級数を微分して鍵となる公式を導く。 $\sum_{k\ge 0}x^{k}=\dfrac{1}{1-x}$ を微分し、$x$ を掛ける。

   $\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}\ \Longrightarrow\ \sum_{k=1}^{\infty}kx^{k}=\frac{x}{(1-x)^{2}},\qquad |x|<1$

   余分な因子 $k$ を生み出しているのは微分である。この種の公式は暗記するのではなく、こうして作り出すのが定石である。

3. 3

   $x=\tfrac12$ を代入する。

   $\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac12\right)^{k}=\frac{\frac12}{\left(1-\frac12\right)^{2}}=\frac{\frac12}{\frac14}=2$

   分母を 2 乗することが肝心である。$\left(1-\tfrac12\right)^{2}$ ではなく $1-\tfrac12$ を使うと 1 になってしまう。

4. 4

   定数の 2 を掛ける。

   $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^{k}}=2\times 2=4$

5. 5

   項を足して確認する。 最初のいくつかは $1,1,0.75,0.5,0.3125,\dots$ で、累計は $1,2,2.75,3.25,3.5625,\dots$ と $4$ に向かって上がっていく。200 項まで足すと倍精度でちょうど $4.0$ になる ✓。等比因子がやがて 1 次因子を圧倒するので、収束は速い。