e^(−x²) の x についての積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   まず素直な置換を試して、失敗する様子を見る。 $u=-x^{2}$とおくと$du=-2x\,dx$になるが、被積分関数には吸収させる$x$の因子がないので置換が完結しない。部分積分も堂々巡りになるだけで簡単にならない。これは工夫が足りないのではなく、構造的な失敗である。

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   理論的な結論を知っておく。 有限項による積分に関するリウヴィルの定理により、$e^{-x^{2}}$には初等的な原始関数が存在しない——多項式・根号・指数関数・対数関数・三角関数を有限回組み合わせて書き表すことはできない。対照的に$\int xe^{-x^{2}}dx=-\tfrac12e^{-x^{2}}+C$は初等的だが、それはまさに余分な$x$のおかげで置換が成立するからである。

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   誤差関数を定義として導入する。 数学ではこの欠けている原始関数に名前を与える：

   $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$

   前につく因子$\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}$は$\operatorname{erf}(\infty)=1$となるように選ばれており、これによって erf は統計で確率として使えるようになっている。

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   定義を逆に使って問いに答える。 定義を微分すると$\operatorname{erf}'(x)=\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}$なので、$\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$を掛ければこの正規化が打ち消される：

   $\int e^{-x^{2}}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)+C$

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   全実数上の定積分と対比する。 初等的な原始関数が存在しないにもかかわらず、定積分のほうは有名な厳密値をもつ：

   $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi}$

   これは2乗して極座標に移ることで得られる。定積分が閉じた形をもつことと、不定積分が閉じた形をもたないことは、まったく矛盾なく両立する。