x が正の無限大に近づくときの x の 2 乗 − 4 の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの項を比べる。 $x$ が大きくなるにつれ $x^2$ は限りなく増大するが、$-4$ は決して変わらない。和においては最高次の項がやがて支配するので、この極限は $x^2$ だけで決まる。

2. 2

   支配的な項を評価する。 $x\to\infty$ ならば $x^2\to+\infty$ である（大きな正の数を 2 乗すればさらに大きくなる）。

3. 3

   定数を引く。 限りなく大きくなる量から固定された $4$ を取り去っても、やはり限りなく大きいままである。

   $x^2-4\to+\infty$

   この平行移動はグラフを $4$ だけ下げるだけで、増大に上限を与えることはできない。

4. 4

   数値で確認する。 $x=10$ では $96$、$x=100$ では $9996$、$x=1000$ では $999996$ である。$x$ が 10 倍になるたびに出力はおよそ $100$ 倍になる。

5. 5

   答えの意味を正確に述べる。 我々は

   $\lim_{x\to\infty}(x^2-4)=+\infty$

   と書くが、$+\infty$ は数ではない。正しい言い方は「極限は有限の値としては存在しない」であり、関数は $+\infty$ に発散する、である。なお 2 乗すると符号が消えるので $\lim_{x\to-\infty}(x^2-4)=+\infty$ でもある。