x が -4 に近づくときの (x^2 - 16)/(x + 4) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   代入して極限の型を判定する。 $x=-4$ では

   $\frac{(-4)^2-16}{-4+4}=\frac{0}{0}$

   となる。分子が分母と同じ点で消えるので $(x+4)$ が両方を割り切り、この不連続は本当の発散ではなく除去可能である。

2. 2

   分子を平方の差として因数分解する。 $16=4^2$ なので

   $x^2-16=(x-4)(x+4)$

   となる。これは $A=x$、$B=4$ とした $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ の形である。

3. 3

   $(x+4)$ を約分する。 すべての $x\ne -4$ について

   $\frac{x^2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4$

   が成り立つ。もとの関数と直線 $y=x-4$ は、もとの関数が定義されない 1 点 $x=-4$ を除いてどこでも一致する——そして極限はその 1 点を無視する。

4. 4

   簡約した 1 次関数を評価する。

   $\lim_{x\to -4}(x-4)=-4-4=-8$

5. 5

   グラフの形を読み取る。 もとの式のグラフは、点 $(-4,-8)$ に穴のあいた直線 $y=x-4$ である。極限 $-8$ はまさにその穴の高さであり、関数自身がそこで値をもたなくても答えが有限になるのはこのためである。