微分方程式 dy/dx = 2y − x を解け。

Step-by-step solution

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   方程式を線形の標準形に直す。 $y$ の項を左辺に移し、$y'+P(x)y=Q(x)$ の形にする：

   $\frac{dy}{dx}-2y=-x,\qquad P(x)=-2,\quad Q(x)=-x$

2. 2

   積分因子を作る。

   $\mu(x)=e^{\int P\,dx}=e^{\int-2\,dx}=e^{-2x}$

   その役割は左辺をひとつの導関数にまとめることであり、これによって微分方程式が単なる積分に変わる。

3. 3

   両辺に掛けて積の微分を見抜く。

   $e^{-2x}\frac{dy}{dx}-2e^{-2x}y=-xe^{-2x}\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dx}\left(ye^{-2x}\right)=-xe^{-2x}$

4. 4

   右辺を部分積分する。 $u=x$、$dv=-e^{-2x}dx$ と取ると $du=dx$、$v=\tfrac12 e^{-2x}$ となる：

   $\int -xe^{-2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{-2x}-\int\frac{1}{2}e^{-2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{-2x}+\frac{1}{4}e^{-2x}+C$

5. 5

   $y$ について解いて検算する。 両辺に $e^{2x}$ を掛けると：

   $y=Ce^{2x}+\frac{x}{2}+\frac{1}{4}$

   検算すると $y'=2Ce^{2x}+\tfrac12$、一方 $2y-x=2Ce^{2x}+x+\tfrac12-x=2Ce^{2x}+\tfrac12$ $\checkmark$。両者は任意の $C$ で一致する。$\tfrac{x}{2}+\tfrac14$ が特殊解、$Ce^{2x}$ が同次方程式の部分である。