対数微分法を使って y = (sin x)^(cos x) の導関数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   通常の法則が使えない理由を見る。 冪の法則 $\frac{d}{dx}u^n = nu^{n-1}u'$ は指数が定数であることを要求し、指数関数の法則 $\frac{d}{dx}a^u = a^u \ln a \cdot u'$ は底が定数であることを要求する。ここでは底も指数も変化するのでどちらも使えず、対数微分法が正しい道具になる。

2. 2

   両辺の自然対数をとる。 対数は指数を係数に変える。

   $\ln y = \cos x \cdot \ln(\sin x)$

   これは $\sin x > 0$ となる区間、たとえば $0 < x < \pi$ で正しい。実数の指数を許すとき、もとの式が定義されるのもその範囲である。

3. 3

   両辺を陰関数的に微分する。 左辺は連鎖律により $\dfrac{y'}{y}$ になる。右辺は $\cos x$ と $\ln(\sin x)$ に積の法則を使う。

   $\frac{y'}{y} = (-\sin x)\ln(\sin x) + \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

   $\ln(\sin x)$ の導関数は連鎖律より $\dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ である——これがもっとも落としやすい項である。

4. 4

   右辺を整理する。

   $\frac{y'}{y} = \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)$

5. 5

   $y$ を掛け戻す。 $y$ をもとの式で置き換える——答えを $y$ のまま残すのは不完全である。

   $y' = (\sin x)^{\cos x}\left(\frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)\right)$

   同じことだが $y' = (\sin x)^{\cos x}\bigl(\cos x \cot x - \sin x \ln \sin x\bigr)$ とも書ける。

6. 6

   都合のよい点で検算する。 $x = \tfrac{\pi}{4}$ では $\sin x = \cos x = \tfrac{\sqrt2}{2} = 0.707107$ なので $(\sin x)^{\cos x} = 0.707107^{0.707107} = 0.782654$ である。括弧の中は $\dfrac{0.5}{0.707107} - 0.707107\ln(0.707107) = 0.707107 + 0.245064 = 0.952171$ になる。両者の積は $0.745220$ である。$\tfrac{\pi}{4}$ で記号的に微分して求めた値は $0.745221$ で、このわずかな差は上の手計算の丸めによるものにすぎない。桁を増やして（$0.7826540 \times 0.9521713$）計算すれば $0.7452207$ が再現される ✓。