theta = π/4 から π/2 まで、rho = 2 sin theta から 2 までの rho の 2 乗 × sin theta を drho dtheta で積分した値を求めよ。

Step-by-step solution

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   幾何的に読む。 極座標では面積要素が $\rho\,d\rho\,d\theta$ なので、$\rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta = (\rho\sin\theta)\,\rho\,d\rho\,d\theta = y\,dA$ である。領域は円 $\rho=2\sin\theta$（すなわち $x^2+(y-1)^2=1$）と円 $\rho=2$ の間にあり、$\theta$ は $\tfrac{\pi}{4}$ から $\tfrac{\pi}{2}$ まで動く。したがってこの積分は、その領域の $x$ 軸まわりの 1 次モーメントである。

2. 2

   sin(theta) を固定して rho で積分する。 $\int_{2\sin\theta}^{2}\rho^2\,d\rho = \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_{2\sin\theta}^{2} = \frac{8}{3}-\frac{8\sin^3\theta}{3}.$ これに $\sin\theta$ を掛けると $\tfrac83\left(\sin\theta-\sin^4\theta\right)$ になる。

3. 3

   正弦の項を計算する。 $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \left[-\cos\theta\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = 0+\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2}{2}.$

4. 4

   sin^4(theta) を余弦の 1 次結合に書き直す。 $\sin^2\theta = \tfrac{1-\cos2\theta}{2}$、$\cos^2 2\theta = \tfrac{1+\cos4\theta}{2}$ なので $\sin^4\theta = \frac{3-4\cos2\theta+\cos4\theta}{8}.$ となる。奇数乗なら置換で処理できるが、偶数乗には次数下げが必要である。

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   書き直した形を積分する。 $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin^4\theta\,d\theta = \frac18\left[3\theta-2\sin2\theta+\frac{\sin4\theta}{4}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \frac18\left(\frac{3\pi}{2}-\left(\frac{3\pi}{4}-2\right)\right) = \frac{3\pi}{32}+\frac14.$

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   答えを組み立てる。 $\frac83\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{3\pi}{32}-\frac14\right) = \frac{4\sqrt2}{3}-\frac{\pi}{4}-\frac23 \approx 0.433553.$ $\tfrac83(\sin\theta-\sin^4\theta)$ を $\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]$ で直接数値積分しても $0.4335532531$ となり、結果が確かめられる。