2/x − 1/x² の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   線形性を使って積分を分ける。 積分は差に対して分配でき、定数は前に出せる：

   $\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=2\int\frac{dx}{x}-\int\frac{dx}{x^2}$

   定義域は$x\neq0$であり、原始関数は$(-\infty,0)$と$(0,\infty)$のそれぞれで別々に有効である。

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   第1項を処理する——べき乗則の例外。 $\tfrac1x=x^{-1}$と書くと、いつもの公式$\int x^n dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$は$n+1=0$で割ることになってしまう。だからこそ$n=-1$だけが唯一の例外なのである：

   $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$

   絶対値のおかげで負の$x$でも有効になる。よって第1項の寄与は$2\ln|x|$である。

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   第2項は通常のべき乗則で処理する。 ここでは$\tfrac{1}{x^2}=x^{-2}$で$n=-2$なので、$n+1=-1\neq0$となり普通の公式が使える：

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

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   第2の積分の前のマイナス符号を反映させる。 被積分関数は$-\tfrac{1}{x^2}$なので、

   $-\int x^{-2}dx=-\left(-\frac1x\right)=+\frac1x$

   マイナスが2つ重なってプラスになるこの段階が、最も見落とされやすい。

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   1つの原始関数にまとめる。

   $\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=2\ln|x|+\frac1x+C$

   見た目のよく似た2つの項から、対数と有理式というまったく異なる型の関数が出てくることに注目したい。

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   微分して検算する。 $\dfrac{d}{dx}\left[2\ln|x|+\tfrac1x\right]=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}$ ✓。数値でも、$x=0.7,\ 2.3,\ -1.6$での対称差分商が被積分関数と5桁一致する ✓。絶対値が効いてくる負の$x$も含めての一致である。