0 ≤ x ≤ 2π、0 ≤ y ≤ 2、0 ≤ z ≤ y² で定まる領域上で、yz の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   ここでは積分順序が強制される理由を見る。 内側の $z$ の上端が $y^2$ なので、$z$ は $y$ より 先に 積分しなければならない。内側の限界がまだ中間の変数に依存している間は、その変数を消すことはできない。領域は放物柱面 $z = y^2$ の下にある立体を $x$ 方向に押し出したものである。

2. 2

   z について積分する。 $y$ を定数に保つと

   $\int_0^{y^2} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{y^2} = y \cdot \frac{y^4}{2} = \frac{y^5}{2}$

   被積分関数の $y$ と上端の $y^2$ が組み合わさり、べきが $1$ から $5$ に上がる。

3. 3

   y について 0 から 2 まで積分する。

   $\int_0^2 \frac{y^5}{2}\,dy = \frac{1}{2}\left[\frac{y^6}{6}\right]_0^2 = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$

4. 4

   x について積分する。 残った式は $x$ に依存しないので、区間の長さ $2\pi$ を掛けるだけである。

   $\int_0^{2\pi}\frac{16}{3}\,dx = \frac{16}{3}\cdot 2\pi = \frac{32\pi}{3}$

5. 5

   補領域と照らして確認する。 直方体全体 $0 \le z \le 4$ での積分は $2\pi \cdot \int_0^2 y\,dy \cdot \int_0^4 z\,dz = 2\pi \cdot 2 \cdot 8 = 32\pi$ である。曲面より上の部分 $y^2 \le z \le 4$ は $\frac{64\pi}{3}$ となり、

   $\frac{32\pi}{3} + \frac{64\pi}{3} = 32\pi \ \checkmark$

   よって $\frac{32\pi}{3} \approx 33.51$ が裏付けられる。