1/(2 + 2x²)² のマイナス無限大から無限大までの積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず括弧の中から定数をくくり出す。 $2+2x^2=2(1+x^2)$なので、

   $\left(2+2x^2\right)^{2}=4\left(1+x^2\right)^{2}\ \Longrightarrow\ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(2+2x^2\right)^2}=\frac14\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(1+x^2\right)^{2}}$

   置換より先にこれをやっておくと、標準形の積分が見た目のまま残る。

2. 2

   広義積分が収束することを確認する。 $|x|$が大きいところで被積分関数は$x^{-4}$のように振る舞い、$\int^{\infty}x^{-4}\,dx$は収束する。よって両側の裾はいずれも有限であり、値はきちんと定まる。

3. 3

   $x=\tan\theta$と置換する。 このとき$dx=\sec^2\theta\,d\theta$、$1+x^2=\sec^2\theta$なので、

   $\int\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\int\frac{\sec^2\theta}{\sec^4\theta}\,d\theta=\int\cos^2\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}$

4. 4

   全実数にわたって積分区間を取る。 $x$が$-\infty$から$\infty$まで動くとき$\theta$は$-\tfrac\pi2$から$\tfrac\pi2$まで動き、$\sin 2\theta$は両端でともに0になる：

   $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}$

5. 5

   先ほどの定数を掛ける。

   $\frac14\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}\approx 0.3926991$

6. 6

   数値で裏付ける。 $[-2000,2000]$を400万分割した中点則は$0.39269908168$を返し、$\pi/8=0.39269908170$と小数第10位まで一致する。しかも$\pm 2000$の外側で切り捨てた裾の寄与は$10^{-9}$未満である。