r が root(cos theta sin theta) から 1 まで、theta が 0 から π/2 までの範囲で、2cos(theta)sin(theta)/r^2 × r dr の累次積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず被積分関数を簡単にする。 極座標の面積要素がすでに因子 $r$ を供給しているので、分母の冪が 1 つ約分される。

   $\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r^{2}}\cdot r=\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r}=\frac{\sin2\theta}{r}$

   ここで 2 倍角の公式 $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ を使った。$\tfrac1r$ の形の被積分関数は、対数が現れる合図である。

2. 2

   内側の $r$ の積分を行う。 $\theta$ を固定すれば分子は定数である。

   $\int_{\sqrt{\cos\theta\sin\theta}}^{1}\frac{\sin2\theta}{r}\,dr=\sin2\theta\Big[\ln r\Big]_{\sqrt{\cos\theta\sin\theta}}^{1}=-\sin2\theta\,\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}$

   $\ln1=0$ だからである。下端は $1$ より小さいのでその対数は負であり、式全体は正になる。

3. 3

   2 倍角を使って対数を書き換える。 $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin2\theta$ なので

   $-\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}=-\tfrac12\ln\!\left(\tfrac12\sin2\theta\right)=-\tfrac12\left(\ln\sin2\theta-\ln2\right)$

   となり、残る積分は

   $I=-\frac12\int_{0}^{\pi/2}\sin2\theta\left(\ln\sin2\theta-\ln2\right)d\theta$

   である。

4. 4

   $u=2\theta$ と置換する。 $d\theta=\tfrac{du}{2}$ であり $u$ は $0$ から $\pi$ まで動くので

   $I=-\frac14\left[\int_{0}^{\pi}\sin u\,\ln\sin u\,du-\ln2\int_{0}^{\pi}\sin u\,du\right]$

   となる。

5. 5

   2 つの標準的な積分を使う。 初等的なほうは $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin u\,du=2$ である。対数を含むほうは古典的な結果

   $\int_{0}^{\pi}\sin u\,\ln\sin u\,du=2\ln2-2$

   である。両方を代入すると

   $I=-\frac14\left[(2\ln2-2)-2\ln2\right]=-\frac14(-2)=\frac12$

   となる。

6. 6

   数値で検証する。 簡約した $\theta$ の被積分関数 $-\sin2\theta\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}$ に $(0,\tfrac\pi2)$ でシンプソン法を適用すると $0.4999999990$ ✓ となり、$\tfrac12$ と小数第 8 位まで一致する。両端で対数は発散するが、$\sin2\theta$ が $\ln$ の発散より速く 0 に近づくので、被積分関数は両端で可積分である。