x が 0 に近づくときの、(1 + tan 5x − cos x) を（1 − x の 2 乗の平方根から 1 + x の 5 乗根を引いたもの）で割った値の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   0/0 の形であることを確かめる。 $x = 0$ では分子が $1 + \tan 0 - \cos 0 = 1 + 0 - 1 = 0$、分母が $\sqrt{1} - 1 = 0$ である。どちらも消えるので、最初に生き残る位数までの級数展開が極限を決める。

2. 2

   分子を展開する。 $u = 5x$ として $\tan u = u + O(u^3)$ を、また $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ を使うと

   $1 + \tan 5x - \cos x = 1 + 5x - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) + O(x^3) = 5x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$

   となる。定数 $1$ と $-1$ が打ち消し合い、主要項として 1 次の $5x$ が残る。

3. 3

   分母を一般二項級数で展開する。 $(1 + u)^\alpha = 1 + \alpha u + O(u^2)$ を使うと

   $\sqrt{1 - x^2} = (1 - x^2)^{1/2} = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$

   $(1 + x)^{1/5} = 1 + \frac{x}{5} + O(x^2)$

   となる。決定的な非対称性はここにある。平方根には 1 次の項がない（引数が $-x^2$ だから）が、5 乗根にはある。

4. 4

   引いて分母の主要な挙動を求める。

   $\sqrt{1 - x^2} - (1 + x)^{1/5} = \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) - \left(1 + \frac{x}{5}\right) + O(x^2) = -\frac{x}{5} + O(x^2)$

   したがって分母も 1 次であり、小さい $x > 0$ に対して負である。

5. 5

   x の因子を 1 つ約分して評価する。

   $\lim_{x \to 0} \frac{x\left(5 + O(x)\right)}{x\left(-\frac{1}{5} + O(x)\right)} = \frac{5}{-\frac{1}{5}} = -25$

6. 6

   両側から数値で確認する。 $x = 10^{-5}$ で商は $-24.99950$、$x = -10^{-5}$ では $-25.00050$ である。$x = \pm 10^{-6}$ では値がさらに締まって $-24.99995$ と $-25.00005$ になる。両側極限は $-25$ である。