a, b を定数とするとき、sin(a·ln(x)) / x^b を x について積分せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $u=\ln x$ と置換して、サインの中から対数を追い出す。 このとき $x=e^{u}$、$dx=e^{u}du$ なので

   $\int\frac{\sin(a\ln x)}{x^{b}}dx=\int\frac{\sin(au)}{e^{bu}}e^{u}\,du=\int e^{(1-b)u}\sin(au)\,du$

   となる。対数と冪の扱いにくい組み合わせが、古典的な「指数関数×サイン」の積分に化けた。

2. 2

   定型の結果を思い出す。 定数 $k$ と $a$ がともにゼロでないとき、

   $\int e^{ku}\sin(au)\,du=\frac{e^{ku}\left(k\sin(au)-a\cos(au)\right)}{k^{2}+a^{2}}+C$

   が成り立つ。部分積分を 2 回行い、現れた式を積分について解けば示せる。右辺に元の積分が再び現れるので、3 回目の積分は要らない。

3. 3

   $k=1-b$ として適用する。

   $\int e^{(1-b)u}\sin(au)\,du=\frac{e^{(1-b)u}\left[(1-b)\sin(au)-a\cos(au)\right]}{(1-b)^{2}+a^{2}}+C$

4. 4

   $e^{(1-b)u}=x^{1-b}$、$u=\ln x$ を使って元の変数に戻す。

   $\int\frac{\sin(a\ln x)}{x^{b}}dx=\frac{x^{1-b}\left[(1-b)\sin\left(a\ln x\right)-a\cos\left(a\ln x\right)\right]}{(1-b)^{2}+a^{2}}+C$

   この公式には $(1-b)^2+a^2\ne 0$、すなわち $a=0$ かつ $b=1$ ではないことが必要である。

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   特別な場合を確認し、数値でも検算する。 $b=1$ のとき積分は $\int\tfrac{\sin(a\ln x)}{x}dx$ に退化し、公式は $\tfrac{-a\cos(a\ln x)}{a^2}=-\tfrac{\cos(a\ln x)}{a}$ を与える。これは $u=\ln x$ から直接得られるものと完全に一致する $\checkmark$。数値的にも、$a=1.7$、$b=0.4$ として $x=0.7,\,1.3,\,2.5,\,4.0$ で一般の原始関数を微分すると、被積分関数が小数第 8 位まで再現される $\checkmark$。