微分方程式 (x + y + 1) dx + (2x + 2y + 5) dy = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   何よりも先に完全形かどうかを判定する。 $M=x+y+1$、$N=2x+2y+5$ とおくと

   $\frac{\partial M}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2$

   となる。これらは一致しないので方程式は完全形ではなく、そのまま読み取れるポテンシャル関数は存在しない。

2. 2

   構造上の手がかりを見つける。 どちらの係数も $x+y$ という 1 つの組み合わせだけの関数になっている：

   $M=(x+y)+1,\qquad N=2(x+y)+5$

   方程式が $x$ と $y$ に $x+y$ を通してしか依存しないときは、置換 $u=x+y$ によって $u$ と $x$ についての変数分離形に帰着する。

3. 3

   変数を取り替える。 $u=x+y$ とおくと $y=u-x$、$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}-1$ である。もとの方程式を $dx$ で割って $y'$ について解くと

   $\frac{dy}{dx}=-\frac{x+y+1}{2x+2y+5}=-\frac{u+1}{2u+5}$

   となるので

   $\frac{du}{dx}-1=-\frac{u+1}{2u+5}\ \Longrightarrow\ \frac{du}{dx}=\frac{2u+5-(u+1)}{2u+5}=\frac{u+4}{2u+5}$

   が得られる。

4. 4

   変数を分離し、仮分数を分解する。 $u$ に関わるものを片側に集めると、

   $\frac{2u+5}{u+4}\,du=dx,\qquad \frac{2u+5}{u+4}=\frac{2(u+4)-3}{u+4}=2-\frac{3}{u+4}$

   となる。「多項式 + 真分数」の形に書き直すことこそが、左辺を閉じた形で積分できるようにする鍵である。

5. 5

   両辺を積分する。

   $\int\left(2-\frac{3}{u+4}\right)du=\int dx\ \Longrightarrow\ 2u-3\ln|u+4|=x+C$

6. 6

   もとの変数に戻して整理する。 $u=x+y$ より、

   $2(x+y)-3\ln|x+y+4|=x+C\ \Longrightarrow\ x+2y-3\ln|x+y+4|=C$

7. 7

   陰関数微分で検算する。 $F=x+2y-3\ln|x+y+4|$ とすると

   $F_{x}=1-\frac{3}{x+y+4},\qquad F_{y}=2-\frac{3}{x+y+4}$

   であり、$F_{x}N-F_{y}M=0$ が恒等的に成り立つ（$(0.5,1.2)$、$(2,-0.3)$、$(-1,3)$ で数値的にも機械精度まで確認した）。したがって $F$ の等位曲線がまさに解曲線である。同じことだが $F_{x}/M=F_{y}/N=\dfrac{1}{x+y+4}$ であり、置換の背後に隠れていた積分因子が $\mu=\dfrac{1}{x+y+4}$ であることが分かる。