関数 f は 2 回微分可能で f''(x) = 6x - 12 を満たす。f が x = 1 で臨界点をもつとき、x = 1 における f について何が言えるか。

Step-by-step solution

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   「臨界点」を式に翻訳する。 微分可能な関数にとって臨界点とは導関数が 0 になる点である。$f$ は 2 回微分可能なので、角や垂直な接線を心配する必要はない。したがって

   $f'(1)=0$

   である。この一言から得られるのはこれだけである。

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   与えられた 2 階導関数をその点で評価する。 $f''$ が直接与えられているので、微分は不要である。

   $f''(1)=6(1)-12=6-12=-6$

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   $f''(1)$ の符号を凹凸として読む。 2 階導関数が負であることは傾きが減少していることを意味するので、グラフは $x=1$ の近くで下向きに曲がる。$f''(1)=-6<0$ なので、曲線は $x=1$ で上に凸である。

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   第 2 次導関数判定法を適用する。 この判定法は、$f'(c)=0$ かつ $f''(c)>0$ なら極小、$f'(c)=0$ かつ $f''(c)<0$ なら極大であり、判定できないのは $f''(c)=0$ のときだけだと述べている。ここでは 2 番目の場合の条件が両方とも成り立つ。

   $f'(1)=0\quad\text{かつ}\quad f''(1)=-6<0$

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   結論を述べ、決まらないことにも触れる。 $f$ は $x=1$ で極大をとる。なお $f$ 自身は定数 2 つ分までしかわからない。2 回不定積分すると $f(x)=x^{3}-6x^{2}+C_1x+C_2$ となり、条件 $f'(1)=0$ から $C_1=9$ は定まるが $C_2$ は自由なままである。したがって値 $f(1)$ は不明であり、定まるのは点の分類だけである。