i を 1 から n まで動かしたときの e^(1 + 2i/n) の和を、閉じた形で表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   指数を分けて定数部分を切り離す。 $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ を使うと

   $e^{1+\frac{2i}{n}}=e\cdot e^{\frac{2i}{n}}\ \Longrightarrow\ \sum_{i=1}^{n}e^{1+\frac{2i}{n}}=e\sum_{i=1}^{n}\left(e^{2/n}\right)^{i}$

   となる。$e$ には $i$ が含まれていないので、そのまま和の外に出せる。

2. 2

   等比の構造を見抜く。 $r=e^{2/n}$ と書くと、各項は $r,r^{2},\dots,r^{n}$ であり、どれも前の項に一定の比 $r$ を掛けたものになっている。つまり初項 $a=r$、項数 $n$ の有限等比級数である。$n$ が項数と公比の中の両方に現れる点に注意したい。

3. 3

   有限等比級数の公式を適用する。 $a+ar+\cdots+ar^{n-1}=a\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$ に $a=r$ を代入すると：

   $\sum_{i=1}^{n}r^{i}=r\cdot\frac{r^{n}-1}{r-1}$

   これには $r\neq 1$ が必要だが、正の $n$ に対して常に $e^{2/n}>1$ なので問題ない。

4. 4

   $r^{n}$ を整理する——答えがきれいになる理由。

   $r^{n}=\left(e^{2/n}\right)^{n}=e^{2}$

   なので

   $\sum_{i=1}^{n}e^{\frac{2i}{n}}=e^{2/n}\cdot\frac{e^{2}-1}{e^{2/n}-1}$

   となる。$n$ への依存が、因子 $e^{2/n}$ と分母だけに凝縮される。

5. 5

   $e$ を掛け戻して結果を解釈する。

   $\sum_{i=1}^{n}e^{1+\frac{2i}{n}}=e^{1+\frac{2}{n}}\cdot\frac{e^{2}-1}{e^{2/n}-1}$

   これはちょうど $\int_{1}^{3}e^{x}dx=e^{3}-e$ に対する右端点リーマン和の $\tfrac{n}{2}$ 倍である。幅 $\tfrac2n$ を掛けて $n\to\infty$ とすると、$e^{2/n}-1\approx\tfrac2n$ より $e\left(e^{2}-1\right)=e^{3}-e$ が復元される ✓。