1 ≤ x ≤ 2、0 ≤ y ≤ 5 − 5x、0 ≤ z ≤ −x − 2y − 5 で定まる領域 E 上で、−5x + 5yz の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   積分限界が退化していることに気づき、その意味を決める。 $x$ が $(1,2]$ にあるとき、指定された $y$ の上端 $5-5x$ は負であり、下端 $0$ より下にある。$z$ についても同様で、上端 $-x-2y-5$ は負である。書かれたままの領域は立体としては空なので、この問題は与えられた限界による累次積分として読むことになる。そこでは逆向きの範囲は符号を反転させて寄与する。

2. 2

   z について積分する。 $Z=-x-2y-5$ とすると $\int_0^{Z}(-5x+5yz)\,dz=-5xZ+\frac{5y}{2}Z^2$ である。代入して展開すると $10y^3+10xy^2+50y^2+\frac52x^2y+35xy+\frac{125}{2}y+5x^2+25x$ が得られる。

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   y について 0 から 5 − 5x まで積分する。 原始関数を求めて（負の）上端を代入すると、外側の被積分関数 $\frac{14125}{12}x^4-\frac{20200}{3}x^3+\frac{28425}{2}x^2-\frac{39250}{3}x+\frac{53125}{12}$ が得られる。

4. 4

   x について原始関数を求める。 この 4 次式の $\int$ は $\frac{2825}{12}x^5-\frac{5050}{3}x^4+\frac{9475}{2}x^3-\frac{19625}{3}x^2+\frac{53125}{12}x$ である。

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   x = 1 から x = 2 まで評価する。 両端での原始関数の差は $\frac{25}{2}=12.5$ となる。被積分関数 $-5x+5yz$ は範囲の大部分で負だが結果は正になる。逆向きの範囲が 2 つあり、符号が 2 度反転するからである。

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   数値による確認。 同じ累次積分を（内側の逆向きの範囲を書かれたまま保って）数値的に計算すると $12.500000$ が返り、$\frac{25}{2}$ と一致する。

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   よくある誤答との対比。 この問題については $-\frac{40625}{72}\approx -564.2$ と答える解法がしばしば見られるが、その値は数値検算に耐えない。逆向きの積分限界の符号の扱いは慎重に行う必要がある。