1/(1 + x)^2 のマクローリン展開を 7 次の項まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   すでに知っている級数から出発する。 $|x|<1$ に対して等比級数より

   $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$

   が成り立つ。$(1+x)^{-2}$ の $0$ における導関数を 7 回計算するより、目標の関数がこれとどう関係しているかに着目するほうがよい。

2. 2

   両辺を 1 回微分する。 $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}$ なので、項別に微分して符号を変えれば目標の級数が直接得られる。

   $-\frac{1}{(1+x)^2}=-1+2x-3x^2+4x^3-\cdots\;\Longrightarrow\;\frac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+\cdots$

   項別微分は収束半径の内側で正当であり、収束半径は $|x|<1$ のまま変わらない。

3. 3

   一般の係数を書き下す。 符号は交互に変わり、大きさは 1 ずつ増えていく。

   $\frac{1}{(1+x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1)x^n$

   $\binom{-2}{n}=(-1)^n(n+1)$ なので、二項級数 $(1+x)^{-2}=\sum\binom{-2}{n}x^n$ と照らし合わせても確かめられる。

4. 4

   7 次までの項を並べる。

   $\frac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+7x^6-8x^7+O\!\left(x^8\right)$

5. 5

   値を検算し、収束の限界に触れる。 $x=0.1$ では打ち切った級数が $1-0.2+0.03-0.004+0.0005-0.00006+0.000007-0.0000008=0.8264462$ となり、厳密値は $\dfrac{1}{1.1^2}=0.\overline{8264462809917355371900}$ である $\checkmark$。$x=1$ では級数が $1-2+3-4+\cdots$ となって収束せず、等比級数から受け継いだ収束半径 $|x|<1$ と整合する。