e^x の x = 0 のまわりのテイラー展開を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   埋めるべき型を書き出す。 $f$ の $x=0$ のまわりのテイラー級数は

   $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$

   なので、やるべきことは $f(x)=e^{x}$ の導関数を 1 点 $0$ で求めることだけである。

2. 2

   繰り返し微分する。 指数関数は微分の不動点である。

   $f'(x)=e^{x},\quad f''(x)=e^{x},\quad\ldots,\quad f^{(n)}(x)=e^{x}\ \text{がすべての }n\ge 0\text{ で成立}$

   この展開がこれほどきれいになるのは、まさにこのためである。符号の規則や増えていく係数を追う必要がない。

3. 3

   中心で値を求める。 $e^{0}=1$ なので

   $f^{(n)}(0)=1\qquad\text{がすべての }n\ge 0\text{ で成立}$

   である。

4. 4

   型に代入し戻す。 分子はすべて $1$ なので、$x^{n}$ の係数は $\dfrac{1}{n!}$ そのものである。

   $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots$

5. 5

   収束半径を確かめる。 隣り合う項に比の判定法を使うと

   $\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}\right|=\frac{|x|}{n+1}\longrightarrow 0$

   がどの固定した $x$ でも成り立つので、この級数は $\mathbb{R}$ 全体で絶対収束する（収束半径 $R=\infty$）。

6. 6

   1 つの値で妥当性を確かめる。 $x=1$ では部分和が $1,\ 2,\ 2.5,\ 2.6\overline{6},\ 2.708\overline{3},\ 2.71\overline{6}$ と $e=2.71828\ldots$ に向かって上がっていき、$e^{1}=\sum 1/n!$ という主張と一致する。