正方形 0 ≤ x ≤ 2π、0 ≤ y ≤ 2π 上での sin x − cos y の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   被積分関数を独立な 2 つに分ける。 積分は線形で、領域は積分区間が定数の長方形なので

   $\iint(\sin x-\cos y)\,dA=\iint \sin x\,dA-\iint\cos y\,dA.$

   となる。どちらの部分も 1 つの変数しか含まないので、どちらも 1 次元の積分の積になる。

2. 2

   1 つ目を計算する。 $\sin x$ は $y$ を含まないので、$y$ の積分は長さ $2\pi$ を掛けるだけである：

   $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx\,dy=2\pi\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=2\pi\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi(-1+1)=0.$

3. 3

   2 つ目も同じように計算する。

   $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\cos y\,dx\,dy=2\pi\int_{0}^{2\pi}\cos y\,dy=2\pi\bigl[\sin y\bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi(0-0)=0.$

4. 4

   合わせる。

   $\iint_{[0,2\pi]^{2}}(\sin x-\cos y)\,dA=0-0=0.$

5. 5

   これが必然だった理由を述べる。 1 辺の長さ $2\pi$ は $\sin$ と $\cos$ のちょうど 1 周期にあたり、正弦波はどれも 1 周期にわたって積分すると 0 になる——正の山と負の谷の面積が等しいからである。長さ $2\pi$ の区間ならどこを取っても同じ答えになる。もし積分区間が $0$ から $\pi$ だったなら、正弦の項の寄与は代わりに $2\pi\cdot 2=4\pi$ となっていた。