α > 0 のそれぞれについて、n = 2 から無限大までの ln(1 + (−1)ⁿ / nᵅ) の級数が絶対収束するか、条件収束するか、発散するかを判定せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   交項の部分だけを見て判定してはいけない。 項は交項に見えるので、すぐにライプニッツの判定法を使いたくなる。しかし $\ln(1+x)$ は奇関数ではない。$\ln(1+t)$ と $\ln(1-t)$ は打ち消し合わず、残る偏りこそがこの問題の帰趨を決める。だから判定法を当てるのではなく、展開する。

2. 2

   対数を展開する。 $x_n=(-1)^n n^{-\alpha}\to 0$ と $\ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}{2}+O(x^3)$ から

   $\ln\!\left(1+\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\right)=\underbrace{\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}}_{\text{交項}}-\underbrace{\frac{1}{2n^{2\alpha}}}_{\text{常に負}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3\alpha}}\right)$

   第 2 項はまったく符号を変えない——これが隠れた偏りである。

3. 3

   交項の部分を処理する。 $\sum (-1)^n n^{-\alpha}$ は（項が単調に 0 へ減少するので）どの $\alpha>0$ でもライプニッツの判定法により収束し、絶対収束するのはちょうど $\alpha>1$ のときである。したがってこの部分が発散を招くことはない。

4. 4

   2 次の部分を処理する——ここが決め手である。 $\sum \tfrac{1}{2}n^{-2\alpha}$ は $p=2\alpha$ の $p$ 級数であり、収束するのは $2\alpha>1$ すなわち $\alpha>\tfrac12$ のときに限る。$\alpha\le\tfrac12$ ではこの部分が $-\infty$ に発散する一方、交項の部分は有界にとどまるので、級数全体が発散する。

5. 5

   3 つの場合をまとめる。 剰余 $O(n^{-3\alpha})$ は $n^{-2\alpha}$ の項に押さえ込まれるので、判定を覆すことはない：

   • $\alpha>1$：$\left|\ln\left(1+\tfrac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)\right|\sim n^{-\alpha}$ で $\sum n^{-\alpha}$ が収束するから、どちらの部分も絶対収束する。
   • $\tfrac12<\alpha\le 1$：級数は収束するが、$\left|\ln(\cdot)\right|\sim n^{-\alpha}$ かつ $\alpha\le 1$ なので $\sum|\cdot|$ は発散する——条件収束である。
   • $0<\alpha\le\tfrac12$：発散する。
6. 6

   結果を述べる。

   $\sum_{n=2}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\right)=\begin{cases}\text{絶対収束}, & \alpha>1\\[2pt]\text{条件収束}, & \tfrac12<\alpha\le 1\\[2pt]\text{発散}, & 0<\alpha\le\tfrac12\end{cases}$

   教訓：交項の $a_n$ に対する $\ln(1+a_n)$ では、交項級数の判定法を当てる前に必ず 2 次まで展開すること。