微分方程式 y'' + 2y' + y = e^(-x) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   特性方程式の解を求める。 $y'' + 2y' + y = 0$ に対する特性方程式は

   $r^2 + 2r + 1 = (r+1)^2 = 0$

   で、重解 $r = -1$ を持つ。重解は $e^{-x}$ と $xe^{-x}$ の両方を与えるので

   $y_h = (C_1 + C_2x)e^{-x}$

   となる。

2. 2

   共鳴の深さを数える。 外力の項 $e^{-x}$ は解 $-1$ と一致し、しかもその解の多重度は $2$ である。規則は「試行解に $x^{m}$ を掛ける（$m$ は多重度）」である。ここでは $m = 2$ なので、$Ae^{-x}$ も $Axe^{-x}$ も代入すると 0 になってしまい、生き残れるのは $y_p = Ax^2e^{-x}$ だけである。

3. 3

   試行解を 2 回微分する。

   $y_p' = A e^{-x}\left(2x - x^2\right), \qquad y_p'' = A e^{-x}\left(x^2 - 4x + 2\right)$

4. 4

   代入して A を求める。

   $y_p'' + 2y_p' + y_p = Ae^{-x}\left[(x^2 - 4x + 2) + (4x - 2x^2) + x^2\right] = 2Ae^{-x}$

   $x^2$ の項が消え（$1 - 2 + 1 = 0$）、$x$ の項も消える（$-4 + 4 = 0$）ので、定数の $2$ だけが残る。$2Ae^{-x} = e^{-x}$ とおくと $A = \tfrac12$ となる。

5. 5

   一般解を書いて検算する。

   $y = e^{-x}\left(C_1 + C_2x + \tfrac{1}{2}x^2\right)$

   $y_p = \tfrac12x^2e^{-x}$ で確かめると、$y_p' = \left(x - \tfrac{x^2}{2}\right)e^{-x}$、$y_p'' = \left(1 - 2x + \tfrac{x^2}{2}\right)e^{-x}$ なので、左辺は $e^{-x}\left[\left(1 - 2x + \tfrac{x^2}{2}\right) + \left(2x - x^2\right) + \tfrac{x^2}{2}\right] = e^{-x}$ となる。正しい。