1 / x^(2/3) の x = −1 から x = 1 までの積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   区間の内部にある特異点を見抜く。 被積分関数$x^{-2/3}$は$x=0$で定義されず、しかもこの点は積分区間の内部にある。この穴をまたいで微積分学の基本定理をそのまま当てはめるのは誤りであり、広義積分として扱って$0$で分割しなければならない：

   $\int_{-1}^{1}x^{-2/3}dx=\int_{-1}^{0}x^{-2/3}dx+\int_{0}^{1}x^{-2/3}dx$

2. 2

   原始関数を求める。 $p=-\tfrac23$としてべき乗の積分公式を使うと$p+1=\tfrac13$なので：

   $\int x^{-2/3}dx=\frac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}$

   実数の3乗根$x^{1/3}$は負の$x$に対しても定義されるので、この1つの式で両側をまかなえる。

3. 3

   左半分を極限として評価する。

   $\lim_{a\to 0^{-}}\left[3x^{1/3}\right]_{-1}^{a}=\lim_{a\to 0^{-}}\left(3a^{1/3}-3(-1)^{1/3}\right)=0+3=3$

   ここで$(-1)^{1/3}=-1$を使った。極限が有限になるのは$x^{1/3}\to 0$であって$\infty$ではないからである：被積分関数が不連続な点でも、原始関数は連続なのである。

4. 4

   右半分も同じように評価する。

   $\lim_{b\to 0^{+}}\left[3x^{1/3}\right]_{b}^{1}=\lim_{b\to 0^{+}}\left(3-3b^{1/3}\right)=3$

5. 5

   収束した2つの半分を足す。

   $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2/3}}dx=3+3=6$

   被積分関数が有界でなくても積分は収束する——$0$での尖りは、無限の面積を囲むには細すぎるのである。

6. 6

   一般則と照らし合わせる。 $0$の近くでは、$\int_{0}^{1}x^{-p}dx$はちょうど$p<1$のときに収束する。ここでは$p=\tfrac23<1$なので収束は予測できたことになる。もし指数が$x^{-4/3}$（つまり$p=\tfrac43>1$）だったなら両側とも発散していた。また被積分関数が偶関数であることが、両半分がともに$3$になる理由も説明している。