y = (e^x + 1)/x³ を微分せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   商を積に書き直す。 $x^3$ を負の指数で分子に移せば、商の微分法のかさばる分母を避けられる：

   $y=(e^x+1)\,x^{-3}$

   定義域からは $x=0$ が除かれる。もとの関数がそこで定義されないからである。

2. 2

   積の微分法の形に置く。 $u=e^x+1$、$v=x^{-3}$ とすると

   $u'=e^x,\qquad v'=-3x^{-4}$

   ここで $u'=e^x$ であって $e^x+1$ ではない点に注意する——定数 $1$ の微分は 0 である。

3. 3

   $(uv)'=u'v+uv'$ を適用する。

   $y'=e^x\cdot x^{-3}+(e^x+1)\left(-3x^{-4}\right)=\frac{e^x}{x^3}-\frac{3(e^x+1)}{x^4}$

4. 4

   両方の項を共通分母 $x^4$ にそろえる。 第 1 項に $\tfrac{x}{x}$ を掛ける：

   $y'=\frac{x e^x}{x^4}-\frac{3(e^x+1)}{x^4}=\frac{x e^x-3e^x-3}{x^4}$

5. 5

   指数関数をくくり出して最もきれいな形にする。

   $y'=\frac{e^x(x-3)-3}{x^4}$

   残った $-3$ をくくり出した因子に取り込むことはできない。これは分子にあった定数 $1$ を微分する側から生じた項だからである。

6. 6

   いくつかの点で数値検証する。 刻み $10^{-6}$ の対称差分商と比べると、$x=0.6$ ではどちらも $-56.8911$、$x=1.7$ ではどちらも $-1.21121$、$x=-2.2$ ではどちらも $-0.152661$ となる ✓。奇数べきの $x^3$ が効く負の $x$ も含めて一致している。