x → 0 のときの (cos²x − 4cos x + 3) / sin²x の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   形を確認する。 $x=0$では$\cos 0=1$なので分子は$1-4+3=0$、また$\sin^2 0=0$である。商は$\tfrac00$なので、代入が通るようになるにはまず式変形が必要である。

2. 2

   分子を$u=\cos x$についての2次式とみなす。 これは整数の範囲で因数分解できる：

   $u^2-4u+3=(u-1)(u-3)\quad\Longrightarrow\quad \cos^2x-4\cos x+3=(\cos x-1)(\cos x-3)$

   $x=0$で消えるのは$\cos x-1$のほうである。

3. 3

   同じ因子が現れるように分母を書き直す。 三平方の恒等式を使うと、

   $\sin^2 x=1-\cos^2 x=(1-\cos x)(1+\cos x)$

   となる。これで分子にも分母にも符号を除いて$1-\cos x$が含まれた——だからこそ約分が漸近的ではなく厳密になる。

4. 4

   約分する。 $\cos x-1=-(1-\cos x)$と書くと：

   $\frac{(\cos x-1)(\cos x-3)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{-(1-\cos x)(\cos x-3)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{3-\cos x}{1+\cos x}$

   これは$0$の近くのすべての$x$（ただし$x\neq 0$）で有効であり、極限に必要なのはそれだけである。

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   簡約した式に代入する。 もう$x=0$で連続である：

   $\lim_{x\to 0}\frac{3-\cos x}{1+\cos x}=\frac{3-1}{1+1}=\frac{2}{2}=1$

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   数値で確認する。 $x=10^{-3}$ではもとの商は$1.0000005$、$x=10^{-4}$では$1.000000005$——どちらも$1$に収束している。$\checkmark$