x→0 のときの tan(2x)/sin(3x) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   形を確認する。 $\tan 2x$ も $\sin 3x$ も $x=0$ で消えるので、この商は $\frac{0}{0}$ の形である。

2. 2

   タンジェントを書き換える。 $\tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ を使うと、式は $\frac{\sin 2x}{\cos 2x\,\sin 3x}$ になる。$\cos 0=1\neq 0$ なので余弦は無害である。

3. 3

   分子と分母を $x$ で割る。 商は $\frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\cos 2x\cdot\frac{\sin 3x}{x}}$ となり、三角関数の部分がすべて標準形 $\frac{\sin kx}{x}$ になる。

4. 4

   標準の極限を適用する。 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$ より、分子は $2$ に、因子 $\frac{\sin 3x}{x}$ は $3$ に近づき、$\cos 2x\to 1$ である。

5. 5

   まとめる。 極限は $\frac{2}{1\cdot 3}=\frac{2}{3}$ である。

6. 6

   数値で確認する。 $x=10^{-6}$ でもとの商を計算すると $0.66666667$ となり、$\frac{2}{3}$ と一致する。