ln(x + √(x² − a²)) を x について微分せよ。

Step-by-step solution

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   対数に対する合成関数の微分を組み立てる。 $u = x + \sqrt{x^2 - a^2}$ とすれば $y = \ln u$ なので $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{u'}{u}$ である。あとは $u'$ を計算し、それが $u$ と共通因子を持つことを期待するだけ——そしてこの組み合わせでは実際にそうなる。

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   平方根を微分する。 合成関数の微分により

   $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 - a^2} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

   なので $u' = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ である。

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   分子を 1 つの分母にまとめる。

   $u' = \frac{\sqrt{x^2 - a^2} + x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

   分子は文字どおり $u$ そのものである——答えがこれほどきれいになるのは、この構造上の一致による。

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   割って約分する。

   $\frac{dy}{dx} = \frac{u'}{u} = \frac{x + \sqrt{x^2 - a^2}}{\sqrt{x^2 - a^2}} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

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   関数の正体と定義域を確かめる。 $\operatorname{arcosh}(x/a) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 - a^2}\right) - \ln a$ なので、この式は加法定数を除いて逆双曲線余弦であり、導関数が $\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh}(x/a)$ と一致するのはそのためである。根号の中が正になる $x > |a|$ で有効である。対照的に $\ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right)$ の導関数は $1/\sqrt{x^2 + a^2}$（arsinh の場合）であり、こちらはすべての実数 $x$ で定義される点にも注意したい。

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   数値による確認。 $a = 2$、$x = 3$ とする。刻み $10^{-6}$ の中心差分は $0.4472136$ を与え、$1/\sqrt{9-4} = 1/\sqrt5 = 0.4472136$ となる。小数第 7 位まで一致する。