0 から π/2 までの √(1 + tan²(0.8) sin²(β)) を β について積分せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   標準形を特定する。 第 2 種完全楕円積分は

   $E(m)=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^{2}\theta}\;d\theta$

   である。$\sqrt{1-m\sin^{2}\beta}$ を $\sqrt{1+\tan^{2}(0.8)\sin^{2}\beta}$ に合わせるには $-m=\tan^{2}(0.8)$、すなわち $m=-\tan^{2}(0.8)$ が必要になる——パラメータが負だが、これはまったく正当であり、被積分関数が $1$ を下回るのではなく上回るというだけの意味である。

2. 2

   パラメータを計算する。

   $\tan(0.8)\approx1.02963856,\qquad\tan^{2}(0.8)\approx1.06015556$

   なので $m\approx-1.06015556$、$I=E\left(-1.06015556\right)$ である。この積分には初等的な閉じた形が存在しない——だからこそ固有の名前を与えられている。

3. 3

   パラメータを正に直す（任意だが見通しがよくなる）。 定数をくくり出すと

   $\sqrt{1+k^{2}\sin^{2}\beta}=\sqrt{1+k^{2}}\,\sqrt{1-\frac{k^{2}}{1+k^{2}}\cos^{2}\beta}$

   となる（$k^{2}=\tan^{2}(0.8)$）。これより $I=\sqrt{1+k^{2}}\;E\!\left(\tfrac{k^{2}}{1+k^{2}}\right)$ であり、今度は $\tfrac{k^{2}}{1+k^{2}}\approx0.51460$ が $[0,1]$ に入り、$\sqrt{1+k^{2}}\approx1.435324$ である。

4. 4

   計算する前に答えを挟み込む。 被積分関数は $\beta=0$ での $1$ から $\beta=\tfrac\pi2$ での $\sqrt{1+k^{2}}\approx1.4353$ まで動く。区間の長さ $\tfrac\pi2\approx1.5708$ を掛ければ、積分は $1.5708$ と $2.2546$ の間に収まる——この範囲を外れる答えは一目で誤りと分かる。

5. 5

   数値で評価する。 独立な 3 つの方法——$4\times10^{6}$ 分点の台形則、$200$ 分点のガウス–ルジャンドル求積、そしてパラメータを正に直した形へのガウス–ルジャンドル求積——がすべて一致する：

   $I\approx1.9280090$

   これは前段の挟み込みの内側に余裕をもって収まる ✓。ここで公表値には注意が要る。近いが誤った値 $1.92274$ は小数第 3 位で食い違っており、これは上記 3 つの方法の一致の度合いをはるかに超える差である。