x = 0 から x = 2 までの x² · sin(x) の積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   部分積分を 2 回使って原始関数を求める。 $u=x^{2}$、$dv=\sin x\,dx$ とすると $-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx$ が得られ、$u=x$、$dv=\cos x\,dx$ として 2 回目を行うと $\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x$ となる。合わせて：

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

   原始関数は積分区間によらないので、一度導いて使い回す価値がある。

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   積分区間 $0$ から $2$ で何が変わるかを押さえる。 ここでの $2$ は $\pi$ の倍数ではなく、ただのラジアンの数値なので、$\sin 2$ と $\cos 2$ は $0$ や $\pm1$ に簡単化しない。したがって厳密な答えには両方が残り、早い段階でこれらを丸めてしまうことが最大の危険である。

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   上端 $x=2$ で評価する。

   $-4\cos 2+4\sin 2+2\cos 2=4\sin 2-2\cos 2$

   2 つの余弦の項が部分的に打ち消し合う：$-4\cos 2+2\cos 2=-2\cos 2$。

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   下端 $x=0$ で評価する。

   $-0\cdot\cos 0+0\cdot\sin 0+2\cos 0=2$

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   引き算して厳密値を得る。

   $\int_{0}^{2}x^{2}\sin x\,dx=4\sin 2-2\cos 2-2$

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   小数に直し、符号を確かめる。 $\sin 2=0.909297$、$\cos 2=-0.416147$ とすると：

   $4(0.909297)-2(-0.416147)-2=3.637190+0.832294-2=2.469483$

   シンプソン則も $2.4694834$ を与える ✓。$2<\pi$ より $[0,2]$ 全体で $\sin x>0$ なので、結果が正になるのは当然である。