y = 10x³ − x² + 4x − 15 を微分し、続けて y′ = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   べき乗の公式を項ごとに当てる。 多項式では各項を独立に扱えばよく、$\left(x^{n}\right)^{\prime}=nx^{n-1}$ と「定数の微分は 0」を使う：$\left(10x^{3}\right)^{\prime}=30x^{2}$、$\left(-x^{2}\right)^{\prime}=-2x$、$(4x)^{\prime}=4$、$(-15)^{\prime}=0$。

2. 2

   導関数を書き下す。 4 つを足し合わせて $y^{\prime}=30x^{2}-2x+4 .$

3. 3

   導関数を 0 とおいて整理する。 $y^{\prime}=0$ を解くとは $30x^{2}-2x+4=0$ を解くことである。係数がすべて偶数なので $2$ で割る：$15x^{2}-x+2=0 .$

4. 4

   無理に解こうとせず判別式を調べる。 $A=15$、$B=-1$、$C=2$ として $D=B^{2}-4AC=(-1)^{2}-4(15)(2)=1-120=-119<0 .$ 判別式が負なので、この 2 次方程式は実数解を持たない。

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   結果を図形的に解釈する。 $y^{\prime}=30x^{2}-2x+4$ は 0 になることがなく、最高次の係数が正なので、すべての実数 $x$ で $y^{\prime}>0$ である。したがってこの 3 次関数は狭義単調増加であり、水平な接線も極値もどこにも存在しない。