定数 k のあらゆる値について、x″ + kx = 0 の一般解を求めよ。

Step-by-step solution

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   特性方程式を立てる。 試しの解 $x=e^{rt}$ を代入すると $x''=r^{2}e^{rt}$ なので

   $r^{2}e^{rt}+ke^{rt}=e^{rt}\left(r^{2}+k\right)=0$

   となる。$e^{rt}\neq0$ なので解は $r^{2}=-k$ を満たす。ここから先はすべて $k$ の符号にかかっている。$-k$ の平方根が実数になるか虚数になるかを、それが決めるからである。

2. 2

   $k>0$ の場合：純虚数の解、振動。 このとき $-k<0$ なので $r=\pm i\sqrt{k}$ である。実部が 0 の共役な虚数の対は、正弦と余弦に書き換わる：

   $x(t)=C_{1}\cos\!\left(\sqrt{k}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{k}\,t\right)$

   運動は有界で、周期 $2\pi/\sqrt{k}$ の周期運動になる——単振動の場合である。$k=2.5$ での数値的な確認では残差が $10^{-5}$ を下回る ✓。

3. 3

   $k=0$ の場合：0 の重解。 方程式は $x''=0$ に退化する。2 回積分すると

   $x'=C_{1}\quad\Longrightarrow\quad x(t)=C_{1}t+C_{2}$

   となる。重解 $r=0$ は 2 つの独立な解 $1$ と $t$ を与える——余分な $t$ の因子は重解の標準的な規則によるもので、答えが定数 1 つではなく直線になるのはそのためである。

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   $k<0$ の場合：2 つの実数解、指数的な増大と減衰。 今度は $-k>0$ なので $r=\pm\sqrt{-k}$ は実数で符号が逆である：

   $x(t)=C_{1}e^{\sqrt{-k}\,t}+C_{2}e^{-\sqrt{-k}\,t}$

   解は（$C_{1}=0$ でない限り）非有界で、決して振動しない。$k=-2.5$ での数値的な確認では残差が $10^{-4}$ を下回る ✓。同値な形として $x=A\cosh(\sqrt{-k}\,t)+B\sinh(\sqrt{-k}\,t)$ とも書ける。

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   3 つの場合をまとめる。

   $x(t)=\begin{cases}C_{1}\cos\!\left(\sqrt{k}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{k}\,t\right),&k>0\\ C_{1}t+C_{2},&k=0\\ C_{1}e^{\sqrt{-k}\,t}+C_{2}e^{-\sqrt{-k}\,t},&k<0\end{cases}$

   どの場合にも任意定数がちょうど 2 つあり、2 階の方程式としてそうでなければならない。物理的には $k>0$ は復元力（ばね）、$k<0$ は反発力（倒立振り子）にあたる。