x が無限大に近づくときの、y = 1 から x までの y を 2 の y 乗で割った項の和の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   これが関数の極限ではなく無限級数であることを見抜く。 部分和は単調増加で、項 $y/2^y$ は等比的に小さくなるので、この極限は収束級数の値そのものである。

   $S=\sum_{y=1}^{\infty}\frac{y}{2^y}$

   収束は比判定法で保証される。隣り合う項の比は $\tfrac12<1$ に近づく。

2. 2

   和を書き下し、半分にする。

   $S=\frac12+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots$

   $\frac12 S=\frac14+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\cdots$

   半分にすると各項が 1 つ右へずれる。これが次の段階を機能させる仕掛けである。

3. 3

   2 つの行を引く。 分母をそろえて並べると、各係数はちょうど 1 ずつ減る。

   $S-\frac12 S=\frac12+\frac{2-1}{4}+\frac{3-2}{8}+\frac{4-3}{16}+\cdots=\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$

   厄介な等差×等比の級数が、ただの等比級数になった。

4. 4

   等比級数を求めて解く。 初項 $\tfrac12$、公比 $\tfrac12$ なので

   $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=\frac{1/2}{1-1/2}=1$

   となり、$\tfrac12 S=1$、したがって $S=2$ である。

5. 5

   閉じた形と数値で検算する。 標準的な恒等式 $\sum_{y\ge1}yr^y=\dfrac{r}{(1-r)^2}$ に $r=\tfrac12$ を入れると $\dfrac{1/2}{1/4}=2$ ✓。最初の $199$ 項を直接足し合わせても、小数第 10 位まで $2.0000000000$ になる ✓。