x² + y² が z² 以上で、かつ x² + y² + z² が 4 以下となる点の集合を C とする。球座標を用いて C の体積を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの曲面を特定する。 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ は半径 $2$ の球面、$x^{2}+y^{2}=z^{2}$ は原点を通る半頂角 $45^\circ$ の双円錐である。領域は球体のうち円錐の外側の部分——上と下からアイスクリームコーン形をくり抜いた球体である。

2. 2

   2 つの条件を球座標に書き換える。 $x=\rho\sin\phi\cos\theta$、$y=\rho\sin\phi\sin\theta$、$z=\rho\cos\phi$ とすると

   $x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\phi,\qquad z^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\phi,$

   なので $x^{2}+y^{2}\ge z^{2}$ は $\sin^{2}\phi\ge\cos^{2}\phi$、すなわち $\tan^{2}\phi\ge 1$、すなわち

   $\frac{\pi}{4}\le\phi\le\frac{3\pi}{4}.$

   となる。球の条件は単に $\rho\le 2$ である。両方の曲面が座標の限界になるので、球座標が正しい選択なのである。

3. 3

   正しいヤコビアンで積分を立てる。 体積要素は $dV=\rho^{2}\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$ である。

   $V=\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.$

   積分限界はすべて定数なので、三重積分は 3 つの 1 次元積分に分解される。

4. 4

   各因子を計算する。

   $\int_{0}^{2}\rho^{2}d\rho=\frac{8}{3},\qquad \int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin\phi\,d\phi=\left[-\cos\phi\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2,\qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.$

5. 5

   3 つの結果を掛け合わせる。

   $V=\frac{8}{3}\cdot\sqrt2\cdot 2\pi=\frac{16\sqrt2\,\pi}{3}\approx 23.695.$

6. 6

   球体全体と比べて確認する。 半径 $2$ の球体全体の体積は $\tfrac{4}{3}\pi(8)=\tfrac{32\pi}{3}\approx 33.51$ なので、この領域はその $\tfrac{16\sqrt2/3}{32/3}=\tfrac{\sqrt2}{2}\approx 70.7\%$ を保っている。$45^\circ$ の円錐を 2 つ取り除けば、無視できないが半分には満たないぶんが削られるはずなので、$70.7\%$ が残るのはちょうど妥当な桁である。