x → 2 のときの (1 + (x³ − 8)/(4x − 8)) の 2x 乗の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   方法を選ぶ前に形を診断する。 $x=2$では分数$\frac{x^3-8}{4x-8}$が$\frac00$なので、底が$1$になるとは限らない——これが$1^\infty$の状況かどうかはまだ分からない。まず内側の分数を簡約すれば、形のほうから正体を明かしてくれる。

2. 2

   分子と分母を因数分解する。 分子は3乗の差である：$x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$。分母は$4x-8 = 4(x-2)$である。近づく途中では共通因子$x-2$は0でない（$2$そのもので評価することは決してない）ので、約分できる：$\frac{x^3-8}{4x-8} = \frac{x^2+2x+4}{4}.$

3. 3

   底を組み立て直す。 $1+\frac{x^2+2x+4}{4} = \frac{4+x^2+2x+4}{4} = \frac{x^2+2x+8}{4}.$

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   底と指数を別々に評価する。 どちらも$x=2$で連続になった。底：$\frac{4+4+8}{4} = \frac{16}{4} = 4$。指数：$2x = 4$。よって形は$4^4$という普通の確定した極限であり、$1^\infty$ではないので、指数関数や対数の技巧は不要である。

5. 5

   値を計算する。 $\lim_{x\to2}\left(1+\frac{x^3-8}{4x-8}\right)^{2x} = 4^4 = 256.$

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   数値で確認する。 $x=2.0001$では式の値は$256.109$、$x=1.9999$では$256$をわずかに下回る——両側から$256$に近づいている。