関数 a/(4b(x + b)) かける exp(-4b/(x + 2b)) の x = 0 におけるテイラー級数を、x^4 の項まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず助変数をくくり出す。 $t=x/b$ と置くと $x+b=b(1+t)$、$x+2b=b(2+t)$ となり、指数の中の $b$ が完全に打ち消される。

   $f=\frac{a}{4b^2}\cdot\underbrace{\frac{1}{1+t}\exp\!\left(-\frac{4}{2+t}\right)}_{g(t)}$

   これで展開すべき対象は助変数を含まない級数 $g(t)$ ひとつになる——計算量を抑えているのはこの一手である。

2. 2

   指数部分を等比級数として展開する。 $-\frac{4}{2+t}=-\frac{2}{1+t/2}$ と書き、$u=t/2$ として $\frac{1}{1+u}=1-u+u^2-\cdots$ を使うと

   $-\frac{4}{2+t}=-2+t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{4}-\frac{t^4}{8}+\cdots$

   となる。先頭の $-2$ は定数 $e^{-2}$ として外に出る。最終的な答えのすべての係数に $e^{-2}$ が現れるのはそのためである。

3. 3

   残りを指数にとる。 $h(t)=t-\tfrac{t^2}{2}+\tfrac{t^3}{4}-\tfrac{t^4}{8}$ とし、$e^{h}=1+h+\tfrac{h^2}{2}+\tfrac{h^3}{6}+\tfrac{h^4}{24}$ を使って冪ごとにまとめると

   $\exp\!\left(-\frac{4}{2+t}\right)=e^{-2}\left(1+t+0\cdot t^2-\frac{t^3}{12}+\frac{t^4}{24}+\cdots\right)$

   となる。$t^2$ の係数はちょうど打ち消し合う。$-\tfrac12+\tfrac12=0$ である。

4. 4

   等比の因子 $1/(1+t)$ を掛ける。 $\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+t^4-\cdots$ とのコーシー積をとると、係数は順に $1$、$1-1=0$、$1-1+0=0$、$-1+1+0-\tfrac1{12}=-\tfrac1{12}$、$1-1+0+\tfrac1{12}+\tfrac1{24}=\tfrac18$ となる。

   $g(t)=e^{-2}\left(1-\frac{t^3}{12}+\frac{t^4}{8}+\cdots\right)$

   $t$ の項も $t^2$ の項も消える——この関数は原点で異例なほど平坦である。

5. 5

   $t=x/b$ に戻す。

   $f(x)=\frac{a\,e^{-2}}{4b^2}\left[1-\frac{x^3}{12b^3}+\frac{x^4}{8b^4}+\cdots\right]=\frac{a e^{-2}}{4b^2}-\frac{a e^{-2}}{48b^5}x^3+\frac{a e^{-2}}{32b^6}x^4+O(x^5)$

6. 6

   係数を数値で検証する。 $t\in[-0.3,0.3]$ 上で $g(t)$ に 8 次の多項式を最小二乗で当てはめ、$e^{-2}$ で割ると係数は $1.0000$、$3\times10^{-7}$、$-1\times10^{-6}$、$-0.08338$、$0.12509$ となり、$1,0,0,-\tfrac1{12}=-0.08333,\tfrac18=0.125$ と一致する ✓。また $g(0)=e^{-2}=0.135335$ ✓。