放物線 y = x² と直線 y = x + 2 で囲まれた領域の面積を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   交点を求める。 $x^2=x+2$ とおくと $x^2-x-2=0$ となり、$(x-2)(x+1)=0$ と因数分解できるので、2 曲線は $x=-1$ と $x=2$ で交わる。これがそのまま積分の上端・下端になる。

2. 2

   どちらの曲線が上にあるかを決める。 中点 $x=0.5$ で試すと、直線は $2.5$、放物線は $0.25$ を与える。区間 $(-1,2)$ を通じて直線が放物線より上なので、被積分関数は「直線 − 放物線」である。

3. 3

   積分を立てる。 面積 $=\displaystyle\int_{-1}^{2}\left[(x+2)-x^2\right]dx$ である。上から下を引く形にしておけば被積分関数が正であることが保証され、絶対値も場合分けも不要になる。

4. 4

   原始関数を求める。 $\int\left(x+2-x^2\right)dx=\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}$ である。

5. 5

   上端と下端で評価する。 $x=2$ では $2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$、$x=-1$ では $\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}$ となる。その差は $\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$ である。

6. 6

   数値で確認する。 $[-1,2]$ 上の $(x+2)-x^2$ にシンプソン則を適用すると $4.5000$ が返り、$\frac{9}{2}$ 平方単位と一致する。