y = eˣ / (eˣ + e⁻ˣ)² を微分し、結果を整理せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   商を積に書き直す。 分母を負のべきとして上に移せば、商の微分法のかさばる分子を避けられる：

   $y=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}$

   これで $u=e^{x}$、$v=\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}$ として積の微分法 $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ が使える。

2. 2

   各部分を微分する。 $u$ については $u'=e^{x}$。$v$ については合成関数の微分に内側の導関数

   $\frac{d}{dx}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=e^{x}-e^{-x}$

   が要る（第 2 項はそれ自身の合成関数の微分から負号を受け取る）。よって

   $v'=-2\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$

3. 3

   積の微分法で組み立てる。

   $y'=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}-2e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$

4. 4

   最も低いべきをくくり出す。 共通因子は $e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}$ である——より負のほうの指数を取るので、第 1 項には $\left(e^{x}+e^{-x}\right)$ が 1 つ残る：

   $y'=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left[\left(e^{x}+e^{-x}\right)-2\left(e^{x}-e^{-x}\right)\right]$

5. 5

   かっこの中を整理して掛け合わせる。 $-2$ を配ると：

   $e^{x}+e^{-x}-2e^{x}+2e^{-x}=-e^{x}+3e^{-x}$

   となり、外の $e^{x}$ を掛けるときに $e^{x}\cdot e^{-x}=1$ を使うと：

   $e^{x}\left(-e^{x}+3e^{-x}\right)=-e^{2x}+3$

   となって、次のようにまとまる：

   $\frac{dy}{dx}=\frac{3-e^{2x}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{3}}$

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   数値で検証し、極値の位置を求める。 $h=10^{-6}$ の中心差分は $x=-1.2$、$0$、$0.7$、$1.9$ でこの公式と $10^{-6}$ 以内で一致する ✓。導関数が 0 になるのは $e^{2x}=3$ のとき、すなわち $x=\tfrac12\ln3\approx0.5493$ ——ここが $y$ の唯一の極大で、符号が $+$ から $-$ に変わることがそれを裏づける。