1階線形微分方程式 dy/dx + 2y = e^(-x) を解け。

Step-by-step solution

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   この方程式がすでに標準の線形形になっていることを確認する。 1階線形方程式は $\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ の形をしている。ここでは $P(x)=2$、$Q(x)=e^{-x}$ で、導関数の係数は $1$ なので、始める前に両辺を割る必要はない。

2. 2

   積分因子を作る。 この解法は、左辺を1つの導関数の形に押し込むためだけに存在する。それを実現する因子は

   $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$

   である（積分定数を落としてよいのは、$\mu$ の $0$ でない定数倍ならどれでも同じように働くからである）。

3. 3

   両辺に掛けて左辺をまとめる。 各項に $e^{2x}$ を掛けると：

   $e^{2x}\frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x} = e^{x}$

   左辺はまさに積の微分法を逆にたどった形である：

   $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right) = e^{x}$

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   両辺を1回積分する。 左辺は導関数を積分するだけなのでそのまま外れ、右辺は初等的に積分できる：

   $e^{2x}y = e^{x} + C$

   任意定数 $C$ はここで入り、入り得るのはここだけである。1階の方程式が持つ任意定数はちょうど1つだからである。

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   $y$ について解く。 $e^{2x}$ で割る、つまり $e^{-2x}$ を掛ける：

   $y = e^{-2x}\left(e^{x} + C\right) = e^{-x} + Ce^{-2x}$

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   代入して検証する。 $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$ の導関数は $y' = -e^{-x} - 2Ce^{-2x}$ なので、

   $y' + 2y = \left(-e^{-x} - 2Ce^{-2x}\right) + \left(2e^{-x} + 2Ce^{-2x}\right) = e^{-x}$

   どんな $C$ でも $C$ の項が打ち消し合うので、これが一般解であることが確認できる。$e^{-x}$ の部分が特殊解、$Ce^{-2x}$ が減衰していく斉次解の部分である。