x が 2 から 3、y が 1 から 2、z が 0 から 1 の範囲で 4x^2*z^3*y の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   被積分関数が変数ごとに分かれることに気づく。 $4x^2z^3y$ は各変数につき 1 つずつの因子の積 $\left(4x^2\right)\cdot(y)\cdot\left(z^3\right)$ であり、しかも直方体の積分限界はどの変数についても定数である。この 2 条件のもとでは、三重積分は 3 つの 1 変数積分の積に分解される。

2. 2

   $x$ について 2 から 3 まで積分する。 $\displaystyle\int_2^3 4x^2\,dx=\left[\frac{4x^3}{3}\right]_2^3=\frac{4(27-8)}{3}=\frac{76}{3}$。

3. 3

   $y$ について 1 から 2 まで積分する。 $\displaystyle\int_1^2 y\,dy=\left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2=\frac{4-1}{2}=\frac32$。

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   $z$ について 0 から 1 まで積分する。 $\displaystyle\int_0^1 z^3\,dz=\left[\frac{z^4}{4}\right]_0^1=\frac14$。

5. 5

   3 つの結果を掛け合わせる。 $\frac{76}{3}\cdot\frac32\cdot\frac14=\frac{76}{8}=\frac{19}{2}=9.5$。

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   数値で検証する。 同じ累次積分を入れ子の複合シンプソン公式で評価すると $9.4999999\ldots$ が返り、厳密値 $\tfrac{19}{2}$ と 7 桁まで一致する。