x = 0 から x = π までの x² · sin(x) の積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   多項式が小さくなるように $u$ を選ぶ。 多項式 × 三角関数の場合、$u$ は必ず多項式に取る。微分すれば次数が下がる一方、$\sin x$ は積分しても $-\cos x$ になるだけで大きくならないからである。次のように取る：

   $u=x^{2},\quad dv=\sin x\,dx\ \Longrightarrow\ du=2x\,dx,\quad v=-\cos x$

   逆に取ると次数が上がってしまい、いつまでも終わらない。

2. 2

   部分積分を 1 回適用する。

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx$

   残った積分の次数は $2$ ではなく $1$ なので、あと 1 回で片づく。

3. 3

   $\int x\cos x\,dx$ にもう 1 回適用する。 今度は $u=x$、$dv=\cos x\,dx$ なので $du=dx$、$v=\sin x$ となり：

   $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x$

   したがって $\int 2x\cos x\,dx=2x\sin x+2\cos x$ である。

4. 4

   原始関数を全部書く。

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

   （2 次だからちょうど 2 回で済んだ。$n$ 次の多項式なら $n$ 回必要である。）

5. 5

   積分区間の端を代入する。 $x=\pi$ では $\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$ を使って：

   $-\pi^{2}(-1)+0+2(-1)=\pi^{2}-2$

   $x=0$ では $\cos 0=1$、$\sin 0=0$ を使って：

   $0+0+2=2$

6. 6

   引き算して確認する。

   $\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin x\,dx=\left(\pi^{2}-2\right)-2=\pi^{2}-4\approx 5.8696$

   シンプソン則による数値評価は $5.8696044011$ で、$\pi^{2}-4=5.8696044011$ と一致する ✓。$[0,\pi]$ 全体で $\sin x\ge 0$ なので、答えが正になるのは当然である。