y = x² の導関数を求めよ。

Step-by-step solution

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   関数の形を見極める。 $y=x^2$ は定数の指数を持つ $x$ の 1 つのべきであり、まさにべき乗の公式が想定している場合である。積・商・合成関数の微分はいずれも不要である。

2. 2

   べき乗の公式を述べる。 定数の指数 $n$ に対して

   $\frac{d}{dx}x^n=n\,x^{\,n-1}$

   が成り立つ。指数が係数になり、新しい指数はそれより 1 小さい。

3. 3

   n = 2 として適用する。

   $\frac{d}{dx}x^2=2\,x^{2-1}=2x^1=2x$

4. 4

   極限の定義から確かめる。 $2$ が実際どこから来るのかが分かるのはここである：

   $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$

   $h\to0$ とすると $2x$ が残る ✓。二項展開の交差項 $2xh$ こそが、この係数のすべての源である。

5. 5

   結果を図形的に解釈する。 導関数 $2x$ は、放物線の傾きが頂点 $x=0$ で $0$、左側で負、右側で正であり、1 次の速さで増えていくことを述べている——$y=x^2$ の形とぴたり合う。

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   数値で抜き取り検査する。 $x=2.5$ では公式は傾き $5$ を予測する。対称差分商 $\frac{f(2.5001)-f(2.4999)}{0.0002}=5.0000$ となる ✓。