頂点 (0,0)、(π,0)、(π,π) の三角形上での x·cos(x + y) の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   三角形を不等式で表す。 3 頂点は $y=0$、$x=\pi$、$y=x$ で結ばれているので、領域は $\{0\le x\le\pi,\ 0\le y\le x\}$ である。$y$ を先に積分すれば、変数を含む積分区間が本来あるべき内側に収まる。

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   y で積分する。 $\int_0^{x}\cos(x+y)\,dy=\left[\sin(x+y)\right]_0^{x}=\sin 2x-\sin x$ なので、内側の結果は因子 $x$ を前に出して $x\left(\sin 2x-\sin x\right)$ となる。

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   2 つの標準的な積分に分ける。 $\int_0^{\pi}x\sin 2x\,dx$ と $\int_0^{\pi}x\sin x\,dx$ で、どちらも $u=x$ とする部分積分で処理できる。

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   1 つ目を部分積分で計算する。 $\int x\sin 2x\,dx=-\frac{x\cos 2x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}$。$x=\pi$ ではこれは $-\frac{\pi}{2}$（$\cos 2\pi=1$、$\sin 2\pi=0$ より）、$x=0$ では $0$ なので、値は $-\frac{\pi}{2}$ である。

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   2 つ目を部分積分で計算する。 $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x$。$x=\pi$ ではこれは $\pi$（$\cos\pi=-1$ より）、$x=0$ では $0$ なので、値は $\pi$ である。

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   負号に注意して合わせる。 積分値は $-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx -4.712389$ である。

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   数値による確認。 三角形上の適応求積は $-4.71238898$ を返し、$-\frac{3\pi}{2}=-4.71238898$ なので、厳密値が裏づけられる。