二重対数 Li2(x) は x = 1 で微分可能か。理由を示して答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   そもそも$x=1$で定義されるかを確認する。 この級数の収束半径は$1$であり、端点$x=1$では$p=2$の収束する$p$級数になる：

   $\operatorname{Li}_{2}(1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx1.644934.$

   したがってそこで関数は定義され、アーベルの定理により左からの連続性ももつ。微分可能性はそれより厳密に強い要求である。

2. 2

   円板の内部で級数を微分する。 $|x|<1$では項別微分が正当化される：

   $\operatorname{Li}_{2}'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n^{2}}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.$

   内側の和はメルカトル級数$-\ln(1-x)$なので、

   $\operatorname{Li}_{2}'(x)=-\frac{\ln(1-x)}{x},\qquad |x|<1.$

   $x=0.99$での数値確認：級数の中心差分は$4.651687$、$-\frac{\ln(0.01)}{0.99}=4.651687$である ✓。

3. 3

   $x\to1^{-}$での導関数を調べる。 $x$が下から$1$に近づくと$1-x\to0^{+}$なので$\ln(1-x)\to-\infty$、したがって

   $-\frac{\ln(1-x)}{x}\longrightarrow+\infty.$

   傾きはいくらでも大きくなる：$x=0.9$では$2.56$、$x=0.99$では$4.65$、$x=0.999$では$6.91$——$\ln\frac{1}{1-x}$のようにゆっくりとではあるが、限りなく増大する。

4. 4

   導関数の定義に立ち返って結論する。 $\operatorname{Li}_{2}$は$(0,1)$上で微分可能であり導関数が$+\infty$に向かうので、平均値の定理により差分商$\frac{\operatorname{Li}_{2}(1)-\operatorname{Li}_{2}(x)}{1-x}$も発散せざるを得ない。よって左微分係数は$+\infty$であり、有限の導関数は存在しない：

   $\operatorname{Li}_{2}\text{ は }x=1\text{ で連続だが微分不可能}.$

   幾何的には、グラフはそこで垂直な接線をもつ。

5. 5

   局所展開でも確かめる。 ランデンの恒等式$\operatorname{Li}_{2}(x)+\operatorname{Li}_{2}(1-x)=\frac{\pi^{2}}{6}-\ln x\ln(1-x)$から、$y=1-x\to0^{+}$として

   $\operatorname{Li}_{2}(x)=\frac{\pi^{2}}{6}+(1-x)\ln(1-x)-(1-x)+O\!\left((1-x)^{2}\right).$

   $y=0.001$での数値では、この展開が$1.63702631$、真の値が$1.63702261$である ✓。悪さをしているのは$y\ln y$の項であり、その導関数$\ln y+1$が発散することが、微分可能性の破綻を別の方向からも裏づけている。