x → 1 のときの (x² − 1) tan(2x − 2) / sin²(x − 1) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形であることを確認する。 $x = 1$では$x^2-1 = 0$、$\tan(2x-2) = \tan 0 = 0$、$\sin^2(x-1) = 0$なので、式は$\dfrac{0 \cdot 0}{0}$——正真正銘の不定形であり、そのまま代入することは許されない。

2. 2

   $u = x-1$と置換してすべてを0中心にそろえる。 $x = u+1$、$x^2 - 1 = (x-1)(x+1) = u(u+2)$、$2x-2 = 2u$、$x-1 = u$であり、$u \to 0$となる：

   $\lim_{u\to 0}\frac{u(u+2)\tan(2u)}{\sin^2 u}$

   この置換が技巧のすべてである：標準的な微小角の極限が表に出てくる。

3. 3

   2つの標準的な極限の形に書き換える。 各三角関数の因子がそれぞれ自分の偏角で割られる形になるように分ける：

   $\frac{u(u+2)\tan(2u)}{\sin^2 u} = (u+2)\cdot\underbrace{\frac{\tan(2u)}{2u}}_{\to\,1}\cdot 2 \cdot \underbrace{\left(\frac{u}{\sin u}\right)^{2}}_{\to\,1}$

   ここで$u \cdot \dfrac{2u}{u^2} = \dfrac{2}{1}$が因子$2$の出どころであり、$\lim_{t\to0}\tfrac{\tan t}{t} = 1$と$\lim_{u\to0}\tfrac{\sin u}{u} = 1$を使っている。

4. 4

   因子ごとに極限を取る。

   $\lim_{u\to 0}(u+2) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2 \cdot 2 = 4$

5. 5

   主要項の展開で検算する。 $u$が小さいとき$\tan(2u) \approx 2u$、$\sin^2 u \approx u^2$なので、商全体は$\dfrac{u(u+2)(2u)}{u^2} = 2(u+2) \to 4$のように振る舞う ✓——より短い道筋でも同じ答えになる。

6. 6

   数値で検証する。 $u = 0.01$（すなわち$x = 1.01$）では分子$= 0.01 \times 2.01 \times \tan(0.02) = 0.01 \times 2.01 \times 0.0200027 = 0.000402054$、分母$= \sin^2(0.01) = 0.0000999967$、商$= 4.02067$。$u = 0.001$では商が$4.002007$となり ✓、$4$に近づいていく。記号的に極限を取るとちょうど$4$になる。