非負整数 n について、0 から π/2 までの sin^n(x) の積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   サインを 1 つ切り出して部分積分する。 $\sin^{n}x=\sin^{n-1}x\cdot\sin x$ と書き

   $u=\sin^{n-1}x,\qquad dv=\sin x\,dx\ \Longrightarrow\ du=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx,\quad v=-\cos x$

   とおく。境界項 $\left[-\sin^{n-1}x\cos x\right]_{0}^{\pi/2}$ は両端で消える——上端では $\cos\tfrac\pi2=0$、下端では $\sin 0=0$ だからである。この積分限界が選ばれる理由がまさにこれである。

2. 2

   $\cos^{2}$ を $\sin$ に戻す。 残るのは

   $I_{n}=(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^{2}x\,dx=(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\left(1-\sin^{2}x\right)dx$

   であり、よって

   $I_{n}=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}$

   となる。右辺にもとの積分が再び現れる。これは、もう一度積分するのではなく代数的に解けという合図である。

3. 3

   $I_{n}$ について解いて漸化式を得る。 両辺に $(n-1)I_{n}$ を加えると $nI_{n}=(n-1)I_{n-2}$ となるので

   $I_{n}=\frac{n-1}{n}\,I_{n-2}$

   が得られる。1 回使うごとに添字が 2 ずつ下がるので、漸化は $n$ の偶奇に応じて $I_{0}$ か $I_{1}$ で止まる。

4. 4

   2 つの初期値を計算する。

   $I_{0}=\int_{0}^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2},\qquad I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi/2}=1$

   $\pi$ の出どころはここだけであり、偶数側の連鎖にしか残らない。

5. 5

   漸化式を展開してウォリスの公式にする。

   $I_{n}=\frac{(n-1)(n-3)\cdots 1}{n(n-2)\cdots 2}\cdot\frac{\pi}{2}\ \ (n\text{ が偶数}),\qquad I_{n}=\frac{(n-1)(n-3)\cdots 2}{n(n-2)\cdots 3}\ \ (n\text{ が奇数})$

   たとえば $I_{4}=\tfrac34\cdot\tfrac12\cdot\tfrac\pi2=\tfrac{3\pi}{16}=0.58905$、$I_{5}=\tfrac45\cdot\tfrac23=\tfrac{8}{15}=0.53333$ である。

6. 6

   偶奇をまとめて 1 本で書ける式にも触れる。 ガンマ関数を使うと

   $\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx=\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2\,\Gamma\!\left(\frac{n}{2}+1\right)}$

   と書ける。$n=0$ から $7$ までの数値積分はいずれもこの式と小数第 10 位まで一致し ✓、さらにこの式は $n>-1$ の非整数にまで結果を拡張する。